جواب کاردرکلاس صفحه 89 ریاضی دوازدهم

حل تمرین کار در کلاس صفحه 89 ریاضی دوازدهم ### 1. پاسخ به سؤال مثال: چرا $f$ روی بازه $[1, 2]$ مشتق‌پذیر نیست؟ تابع $f(x) = \begin{cases} x^2 & -2 \le x \le 1 \\ x + 1 & x > 1 \end{cases}$ در $x=1$ مرز بین دو ضابطه است. برای مشتق‌پذیری روی یک بازه بسته، تابع باید در داخل بازه مشتق‌پذیر و در نقاط انتهایی، مشتق‌پذیر راست یا چپ باشد. 1. **بررسی مشتق چپ و راست در $x=1$:** * **مشتق راست ($x \to 1^+$):** از ضابطه $x+1$ استفاده می‌شود. $f'_+(1) = \frac{d}{dx}(x+1)|_{x=1} = 1$. * **مشتق چپ ($x \to 1^-$):** از ضابطه $x^2$ استفاده می‌شود. $f'_-(1) = \frac{d}{dx}(x^2)|_{x=1} = 2x|_{x=1} = 2(1) = 2$. 2. **نتیجه:** چون مشتق چپ ($2$) و مشتق راست ($1$) در $x=1$ با هم **برابر نیستند** ($\mathbf{2 \ne 1}$)، $\mathbf{f'(1)}$ موجود نیست. $$\mathbf{\text{پس، } f \text{ روی بازه } [1, 2] \text{ مشتق‌پذیر نیست، زیرا در نقطه انتهایی } x=1 \text{ مشتق‌پذیر راست نیست.}}$$ **توجه:** اگر بازه $(1, 2)$ بود، مشتق‌پذیری از چپ در $x=2$ مهم نبود. --- ### 2. تعریف مشتق‌پذیری روی بازه‌ها **تابع $f$ روی بازه $(a, b)$ مشتق‌پذیر است هرگاه:** $$\mathbf{\text{f در هر نقطه از بازه باز } (a, b) \text{، مشتق‌پذیر باشد.}}$$ **تابع $f$ روی بازه $[a, b]$ مشتق‌پذیر است هرگاه:** $$\mathbf{\text{f در بازه باز } (a, b) \text{ مشتق‌پذیر باشد و در } x=a \text{ مشتق‌پذیر راست } (f'_+(a)) \text{ و در } x=b \text{ مشتق‌پذیر چپ } (f'_-(b)) \text{ باشد.}}$$

حل تمرین کار در کلاس صفحه 89 ریاضی دوازدهم ### 1. بررسی مشتق‌پذیری روی بازه‌ها ابتدا مشتق ضابطه‌ها را در داخل بازه‌ها محاسبه می‌کنیم: $$\mathbf{f'(x) = \begin{cases} 2 & x < -1 \\ 2x & -1 < x < 2 \\ -1 & 2 < x < 5 \end{cases}}$$ --- #### الف) مشتق‌پذیری روی بازه $[ -1, 1 ]$ 1. **بررسی مشتق‌پذیری در داخل بازه:** در بازه باز $(-1, 1)$، $f(x) = x^2 - 1$ است. $f'(x) = 2x$ که در این بازه پیوسته و مشتق‌پذیر است. 2. **بررسی نقطه انتهایی چپ ($x = -1$):** باید مشتق چپ و راست در $x=-1$ را بررسی کنیم. * **مشتق راست ($x \to -1^+$):** $f'_+(-1) = 2x|_{x=-1} = 2(-1) = -2$ * **مشتق چپ ($x \to -1^-$):** $f'_-(-1) = 2x + 4 |_{x \to -1} = 2$ $$\text{چون } f'_+(-1) \ne f'_-(-1) \text{، پس } f'( -1) \text{ موجود نیست.}$$ 3. **بررسی نقطه انتهایی راست ($x = 1$):** چون $x=1$ یک نقطه مرزی نیست و داخل ضابطه $x^2 - 1$ قرار دارد، $f'(1) = 2(1) = 2$ است. (تابع در $x=1$ مشتق‌پذیر است.) $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } f'( -1) \text{ موجود نیست (و تابع در آنجا پیوسته است اما گوشه دارد)، } \mathbf{f \text{ روی بازه } [ -1, 1 ] \text{ مشتق‌پذیر نیست.}}$$ --- #### ب) مشتق‌پذیری روی بازه $(-1, 2)$ 1. **بررسی مشتق‌پذیری در داخل بازه:** در این بازه $f(x) = x^2 - 1$ است. $f'(x) = 2x$ که در $(-1, 2)$ پیوسته و مشتق‌پذیر است. 2. **بررسی نقاط انتهایی:** چون بازه باز است، نیازی به بررسی مشتق چپ/راست در $-1$ و $2$ نیست. $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \mathbf{f \text{ روی بازه } (-1, 2) \text{ مشتق‌پذیر است.}}$$ --- #### پ) مشتق‌پذیری روی بازه $[2, 5)$ 1. **بررسی مشتق‌پذیری در داخل بازه:** در بازه باز $(2, 5)$، $f(x) = -x + 5$ است. $f'(x) = -1$ که در این بازه مشتق‌پذیر است. 2. **بررسی نقطه انتهایی چپ ($x = 2$):** باید مشتق چپ و راست در $x=2$ را بررسی کنیم. * **بررسی پیوستگی در $x=2$:** $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 - 1 = 3$. $\lim_{x \to 2^+} f(x) = -2 + 5 = 3$. $f(2) = 3$. (تابع پیوسته است.) * **مشتق راست ($x \to 2^+$):** $f'_+(2) = -1$ * **مشتق چپ ($x \to 2^-$):** $f'_- (2) = 2x|_{x=2} = 4$ $$\text{چون } f'_+(2) \ne f'_- (2) \text{ (یعنی } -1 \ne 4 \text{)، پس } f'(2) \text{ موجود نیست.}$$ $$\mathbf{\text{نتیجه:}} \text{ چون } f'(2) \text{ موجود نیست (گوشه دارد)، } \mathbf{f \text{ روی بازه } [2, 5) \text{ مشتق‌پذیر نیست.}}$$ --- ### 2. رسم نمودار $f(x)$ نمودار $f(x)$ از سه بخش تشکیل شده است: * **$x < -1$:** خط $y = 2x + 4$. نقطه مرزی $(-1, 2)$ (توخالی). * **$-1 \le x < 2$:** سهمی $y = x^2 - 1$. نقاط مرزی $(-1, 0)$ (توپر) و $(2, 3)$ (توخالی). * **$2 \le x < 5$:** خط $y = -x + 5$. نقاط مرزی $(2, 3)$ (توپر) و $(5, 0)$ (توخالی). **توجه:** * در $x=-1$: جهش از $y=2$ به $y=0$ است (ناپیوسته). * در $x=2$: پیوسته است ($y=3$) اما دارای گوشه است (شیب از $4$ به $-1$ تغییر می‌کند).